ТРИ АЛГЕБРИ

Ми звикли до нашої сучасної алгебри і навіть не уявляємо собі, що вона могла бути іншою. Адже ж це так просто:

(а + Ь)²= а² + Ь² + 2 аЬ,

і словами це можна прочитати дуже просто: а плюс Ь в квадраті дорівнює а квадрат плюс Ь квадрат плюс два аЬ.

А був час, коли так не писали і не казали. В давнину це здавалося б нісенітницею, бо що таке а квадрат — площа, об'єм чи довжина? Стародавні греки могли сказати лише так: площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на кожному з цих відрізків, плюс подвоєна площа прямокутника, побудованого ^на цих відрізках. Спробуйте, не маючи формули, знаючи лише її останній словесний вираз, дізнатися, про що йдеться. У наведеному прикладі, можливо, це не важко зробити з достатньою простотою, але ж існували приклади значно складніші!

Та алгебра, якою ми користуємось тепер, називається символічною. Відкриття її, щоправда, не в тій досконалій формі, яку ми маємо в наш час, пов'язане з ім'ям' видатного французького математика XVI— XVII ст. Франсуа Вієта. А та алгебра, в якій замість символів уживались повні словесні звороти, мала назву риторичної. Поміж ними — риторичною і символічною — є ще так звана синкопічна алгебра, від слова синкопа — зріз. У цій алгебрі багато математичних символів позначали скороченнями відповідних слів. Створення її пов'язують з ім'ям Діо- фанта Александрійського.

Отже, можна сказати, що алгебра в своєму розвитку пройшла три стадії: період алгебри риторичної (Евклід, IV—III ст. до н. е., Архімед, III ст. до н. е. та інші), період синкопічної (Діофант) і період символічної (Франсуа Вієт і його послідовники).

Не слід, проте, вважати, що зазначені періоди послідовно змінювали один одного і що, скажімо, після III ст. н. е. риторичної алгебри вже не було. Ні, на неї ще спиралися, наприклад, Мухаммед аль-Хорезмі в IX ст., Омар Хайям в XI ст. Те саме, зрозуміло, стосується і синкопічної алгеб¬ри, і символічної. Вказані нами періоди значною мірою накладались один на один. Можливо, правильніше було б говорити не про три періоди, а про три види, що виникли на шляху розвитку науки.

ЧИ ЗНАЄТЕ ВИ, ЩО ОЗНАЧАЄ СЛОВО «АЛГЕБРА»?

Термін цей пов'язаний з назвою твору видатного середньоазіатського ма-тематика IX ст. Мухаммеда аль-Хорезмі. Твір мав назву «Кітаб ал-джебр ал- мукабала». Ал-джебр і ал-мукабала — назви двох алгебраїчних операцій — перенесення членів рівняння з однієї частини до другої і відкидання однако¬вих доданків. Приблизне значення слова алгебра — виправлення. В даному разі йдеться про «виправлення» рівняння.

Термін ал-мукабала в математичній мові не усталився. Обидві згадані алгебраїчні операції згодом стали називатися просто алгеброю. Ну, а далі цим терміном стали позначати науку із значно ширшим змістом.

А ЩО ОЗНАЧАЄ СЛОВО «АЛГОРИТМ»?

Виявляється, це слово пов'язане з тим самим аль-Хорезмі. Видатний математик починав свої твори так: «Сказав аль-Хорезмі». Перекладаючи книжки аль-Хорезмі на латинську мову, в середні віки відповідно писали «Diksit Algorismi», ЩО означає: «сказав аль-Хорезмі». Тут ім'я аль-Хорез¬мі вже переінакшено на Алгоризмі, згодом стали писати «Diksit Algoritmi».

Оскільки після цього звичайно викладали зміст твору аль-Хорезмі про ін¬дійську лічбу, то спершу слово «алгоритмі» (алгоритм) пов'язували з десятковою позиційною системою числення. З часом під цим словом розуміли вже не тільки те, що стосується десяткової системи, а й взагалі всякий регулярний процес.

Істотною особливістю позиційної системи є наявність в ній нуля. Нуль! Скільки вже написано про нього, зокрема про його виникнення. Якщо чи¬тач проглядав перший том «Хрестоматії»1, то він повинен пам'ятати, що про цю цифру, її походження і незвичайну долю розповідалося й там. І все ж ми хочемо навести ще одне міркування, зв'язане з цим цікавим математичним феноменом. Належить це міркування сучасному голландському алгебраїсту й історикові математики Ван дер Вардену. Чи справді індійці винайшли нуль? Досі ми вважали, що це саме так. А ось Ван дер Варден дійшов висновку, що винайшли нуль не індійці, а греки за кілька століть до індійців. Чи переконливе таке твердження? Давайте послухаємо, що з цього приводу говорить сам Ван дер Варден.

ДЕ З'ЯВИВСЯ НУЛЬ?

Найважливіша цифра — нуль. Це була геніальна ідея зробити щось із нічого, дати цьому дечому ім'я і винайти для нього символ. Вавілонська шістдесяткова система2 була недосконалою, бо вона не мала нуля і не давала змоги відрізнити 60 від 1 або 1/60. Згодом запровадили значок для розря¬ду, якого бракує між цифрами числа, але на кінці числа його ще не писали.

Грецькі астрономи звели цю систему до викінченого вигляду, додавши як нуль знак о, скорочення одного з грецьких слів. Нуль був відомий неопіфагорійцеві Ямвліху, на що вказав Фрейденталь 3.

Чи існував якийсь зв'язок між вавілонською шістдесятковою системою з грецьким круглим нулем і індійською десятковою системою з таким самим круглим нулем?

Фрейденталь вважає, що так. Він зазначає, що якраз у цей самий час, між 200 і 600 роками, коли в Індії ввійшло в ужиток десяткове позиційне позначення, індійці ознайомились і з грецькою астрономією. В їхньому стандартному астрономічному творі «Сур'я — Сіддханта» багато грецьких термінів. Кепсіга (відстань від центра) природно походить від хєгтроу, Ііріа (мінута) — від Хелгбу і т. д. Але, що значно важливіше, теоретична частина «Сур'я — Сіддханти» значною мірою грунтується на грецькій теорії епі- циклів 4.

У той же час, вивчаючи грецьку астрономію і тригонометрію, індійські астрономи, природно, ознайомилися також з шістдесятковою позиційною системою і нулем.

Є ще одна обставина, що вказує, як вважає Фрейденталь, на чужозем¬ний вплив. Числа віршувальників пишуть у висхідній послідовності: одиниці, десятки і т. д., яка природно пов'язана з назвами чисел у мові. А коли ввести цифри, ця послідовність раптом змінюється на протилежну. Чи не могло і це бути наслідком західного впливу? Вавілоняни і греки завжди по¬чинали з найвищих одиниць.

До цих аргументів Фрейденталя можна ще додати, що в індійських арифметичних посібниках дроби зображені зовсім не так, як у пізніших грецьких папірусах, а саме: чисельник пишуть над знаменіщком без будь-якої риски, що позначала б дріб.

Таким чином, гіпотеза Фрейденталя зводиться приблизно ось до чого: перш ніж індійці зазнали грецького впливу, вони вже мали свою віршову позиційну систему, розташовану десятково, починаючи з нижчих одиниць. У них були цифри від 1 до 9 і, подібно до цього ж, знаки для 10, 20,... Ознайомившись з грецькою астрономією, індійці дізнались про шістдесят- кову систему і нуль. Вони з'єднали цю позиційну систему із своєю: до своїх власних цифр брахми 1—9 вони додали грецький нуль (о) і прийняли греко- вавілонську послідовність розрядів.

Дуже можливо, що так воно й було. Проте це не зменшує заслуг індійців: саме вони довели до кінця ту систему, якою ми користуємось.

Усі основні арифметичні дії з цілими числами і дробами, саме в тому вигляді, в якому ми вивчаємо їх у школі, є і в індійських підручниках з ариф¬метики. Вони разом з правилами дій дійшли до нас через арабів.

Як і все велике, ідея запровадження нуля геніально проста. Ця ідея могла з'явитися не в одного народу і, можливо, не в один час. Певно, не було б помилкою припустити, що і греки, і індійці прийшли до ідеї нуля незалежно одні від одних. Так само незалежно і раніше від них до цієї ідеї прийшли вавілоняни