ТРАНСЦЕНДЕНТНЕ ЧИСЛО е

Як і число π, е — трансцендентне число, тобто воно не може бути коренем якогось алгебраїчного рівняння з раціональними коефіцієнтами. Так само як за допомогою циркуля та лінійки неможливо побудувати відрізок прямої, довжина якого у відповідних одиницях точно дорівнює π, не існує і способу побудови відрізка, довжина якого виражалася б числом е. Число е, як і число π, можна записати лише двома способами: або як нескінченний ланцюговий дріб, або як суму нескінченного ряду. Ось, наприклад, як записують число е у вигляді ланцюгового дробу:

Цей нескінченний дріб у XVIII ст. відкрив великий математик Леонард Ейлер. Він же перший запровадив символ е. (Можливо, Ейлер вибрав букву е саме тому, що вона була наступною голосною після а, яку він уже використав, позначивши нею іншу величину. Однак Ейлерові належить так багато відкриттів, зв'язаних з числом е, що зрештою е стали називати «числом Ейлера»).

Розклавши за степенями n вираз , ми матимемо такий добре відомий ряд сума якого дорівнює числу е:

e=1+ 1/1! + 1/2! + 1/(3! ) +……

Знак оклику тут означає факторіал (3! = 1 • 2 • 3 = 6; 4! = 1·2·3·4= 24,..., n! = 1• 2 • 3 ... (n— 1) n). Завдяки швидкій збіжності ряду число е неважко обчислити з точністю до будь-якого десяткового знака (в усякому разі, простіше, ніж π). У 1952 р. співробітники Іллінойського університету обчислили 60 000 знаків числа е, а в 1961 р. на одній з машин ЕОМ було добуто вже 100 265 десяткових знаків числа е (На цей раз знак оклику вже не означає факторіала). В числі е, так само як і в числі π, десяткові знаки ніде не обриваються, а знайти закон, за яким вони чергуються, поки що нікому не вдалося.

Чи існує якесь співвідношення, яке зв'язує два найвідоміших трансцендентних числа π і е? Так, існує і не одно. Найбільш відома така формула, виведена Ейлером на основі одного відкриття, зробленого до нього Абрахамом де Муавром:

e^iπ +1 =0.

«Лаконічне, витончене, сповнене глибокого змісту»,— так називають це відношення Е. Каснер і Дж. Р. Ньюмен у книжці «Математика і уява».— Ми лише відтворюємо його, не вдаючись у детальне вивчення . «Для до¬слідження цього співвідношення потрібні об'єднані зусилля математиків, учених — природників і філософів». До наведеного виразу входять п'ять основних величин 1, 0, π, е та і . Каснер і Ньюмен розповідають, як вразила ця формула Бенджаміна Пірса, математика з Гарвардського університету, батька філософа Чарлза Сандерса Пірса. «Джентельмени,— 'звернувся він одного разу до студентів, написавши цю формулу на дошці,— я впевнений, що написана формула абсолютно парадоксальна. Ми неспроможні її збагнути і не знаємо, що вона означає, однак ми її довели і тому вважаємо, що вона має бути правильною».