ПРО ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ

Рівняння з цілими коефіцієнтами від будь-якого числа змінних і якогс завгодно степеня називаються діофантовими. Ця назва пов'язана з ім'яь давньогрецького математика Діофанта. Діофантові рівняння були і залишаються однією з най улюбленіших тем у теоретико-числових дослідженнях математиків.

Відомо, як розв'язуються в загальному вигляді діофантові рів няння першого степеня з двома змінними. А як стоїть справа в загальному випадку? Дуже сильний результат, що належить до таких рівнянь, що правда, результат негативний, але який від цього не стає менш значним дістав у 1972 р. ленінградський математик Юрій Матіясевич. Цей результат пов'язується з однією з так званих проблем Гільберта. В чому він полягає;1900 року на Міжнародному математичному конгресі, що відбувся і Парижі, видатний німецький математик Давід Гільберт зробив доповідь у якій, зокрема, сформулював 23 проблеми. Згодом вони ввійшли в історій науки як проблеми Гільберта. Під номером 10 у нього була сформульовані проблема про так звані діофантові рівняння. Оскільки діофантовими називається рівняння з цілими коефіцієнтами, то й розв'язання його шукають у цілих числах.

Гільберт ставить проблему: чи не можна побудувати такий алгоритм, щоб за його допомогою про кожне діофантове рівняння дістати відповідь, чи розв'язне воно в цілих числах. Багато математиків робили спроби розв'язати десяту проблему Гільберта, і було добуто деякі часткові результати. І лише Юрію Матіясевичу вдалося повністю її розв'язати. Розв'язок був негативним — десята проблема Гільберта нерозв'язна. Це означає, що нема такого алгоритму, користуючись яким можна було б про всяке діофантове рівняння сказати, чи розв'язне воно в цілих числах. Інакше кажучи, десята проблема Гільберта алгоритмічно нерозв'язна.

Ви, мабуть, чули про знамениту теорему Ферма. Цю теорему сформулював ще в XVII ст. видатний французький математик П'єр Ферма. В ній стверджувалось, що рівняння хⁿ + уⁿ = zⁿ не має розв'язку в цілих числах, якщо п більше ніж 2. Ферма не залишив доведення теореми, а всі спроби знайти його ось уже понад 300 років не приводять до позитивного результату. Очевидно, якби проблема Гільберта мала позитивне розв'язання, то ми могли б справитись і з задачею Ферма. Справді, рівняння, про яке ми говорили вище, має цілі коефіцієнти, і розв'язання його шукають також у цілих числах. Отже, це є деяке діофантове рівняння. Якби алгоритм розв'язності діофантових рівнянь існував, то достатньо було б його застосувати до рівняння Ферма, щоб питання про розв'язність чи нерозв'язність цього рівняння в цілих числах було з'ясоване. Але алгоритму нема, і теорема Ферма, як і колись, продовжує хвилювати уми математиків.

До речі, теорема Ферма формулюється дуже просто. Багатьох така простота вводить в оману, і вони намагаються «з ходу» довести її. І, звичайно, зазнають невдачі. їм навіть дали спеціальне прізвисько — ферматисти. А тим часом нескінченним потоком надходять листи в академії наук, університети, математичні інститути; в цих листах пропонуються доведення теореми Ферма, але в жодному з них ще не було спражнього розв'язання задачі. І все ж не слід відмовлятися від спроб знайти доведення теореми. Адже заняття математикою — це своєрідна безпрограшна лотерея. Чи ви намагаєтеся з малими силами розв'язати проблему, з якою не змогли впоратись видатні математики, чи ви шукаєте явно неіснуюче розв'язання,— ви ніколи не будете в програші. Не розв'язавши проблеми, ви, однак, завжди знайдете багато важливих і корисних результатів, причому нерідко значно важливіших і корисніших, ніж той, який ви хотіли мати. Можна навести безліч таких прикладів з історії математики.

Ферма довів багато теорем теорії чисел. Кожну з них можна було б назвати його ім'ям. Мабуть, що найпопулярнішою є та, яку називають великою і про яку ми сказали кілька слів вище. Ця теорема залишається досі недоведеною. Слідом за великою теоремою щодо популярності і значення для теорії чисел можна вказати так звану малу теорему Ферма. Вона стосується теорії порівнянь. Про неї розповідається в нарисі видатних американських математиків Р. Куранта і Г. Роббінса.